Garis Singgung Lingkaran

1. Sifat Garis Singgung Lingkaran

Gambar 7.1 di samping menunjukkan lingkaran yang berpusat di titik O dengan diameter AB. Garis g tegak lurus AB dan memotong lingkaran di dua titik. Jika g digeser terus menerus ke atas hingga menyentuh titik A maka akan diperoleh garis g' yang menyinggung lingkaran dan tegak lurus AB. Garis g' disebut garis singgung dan titik A disebut titik singgung. Uraian di atas menggambarkan definisi dari garis singgung lingkaran yaitu:

Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya. Perhatikan Gambar 7.2 Gambar 7.2(a) memperlihatkan bahwa garis g menyinggung lingkaran di titik A. Garis g tegak lurus jari-jari OA. Dengan kata lain, hanya terdapat satu buah garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran. Pada Gambar 7.2(b) , titik R terletak di luar lingkaran. Garis l melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik P, sehingga garis l tegak lurus jari-jari OP. Garis m melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik Q, sehingga garis m tegak lurus jari-jari OQ. Dengan demikian, dapat dibuat dua buah garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran.

2. Melukis Garis Singgung

Sebelum melukis garis singgung lingkaran, pastikan kamu telah memiliki jangka dan penggaris sebagai alat bantu. Perhatikan uraian berikut.

a. Garis Singgung Melalui Satu Titik pada Lingkaran

Sebelumnya telah dijelaskan bahwa garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya. Oleh karena itu, melukis garis singgung lingkaran di titik singgung P sama saja dengan melukis garis yang tegak lurus terhadap jari-jari OP. Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung lingkaran melalui satu titik pada lingkaran berikut ini.

Ternyata, kita hanya dapat membuat satu buah garis singgung lingkaran di titik P. Hal ini membuktikan sifat garis singgung lingkaran pada bagian sebelumnya.

b. Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

Sekarang, kamu akan melukis garis singgung yang melalui titik di luar lingkaran. Perhatikan langkah-langkah berikut dengan baik.

3. Panjang Garis Singgung Lingkaran

Setelah melukis garis singgung lingkaran, sekarang kamu akan menghitung panjang garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran. Perhatikan gambar berikut.

B. Garis Singgung Dua Lingkaran

Kamu tentu sudah sering melihat sepeda. Apabila kamu amati rantai roda sepeda, tampak bahwa rantai itu melilit dua roda bergerigi yang berbeda ukuran. Dua roda bergerigi tersebut dapat dianggap sebagai dua lingkaran dan rantai sepeda sebagai garis singgung persekutuan lingkaran. Dengan demikian, garis singgung persekutuan dapat diartikan sebagai
garis yang tepat menyinggung dua lingkaran.

1. Kedudukan Dua lingkaran

Secara umum, kedudukan dua lingkaran dapat dikelompokkan menjadi tiga jenis, yaitu dua lingkaran bersinggungan, berpotongan, dan saling lepas.

a. Dua Lingkaran Bersinggungan

Perhatikan Gambar 7.3

Gambar 7.3(a) memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan di dalam. Untuk kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgung persekutan luar, yaitu k dengan titik singgung A. Gambar 7.3(b) memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan di luar. Dalam kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgung persekutuan dalam, yaitu n dan dua garis singgung persekutuan luar, yaitu l dan m.

b. Dua Lingkaran Berpotongan

Dua lingkaran yang berpotongan seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 7.4 mempunyai dua garis singgung persekutuan luar, yaitu r dan s.

c. Dua Lingkaran Saling Lepas

Gambar 7.5 memperlihatkan dua lingkaran yang saling lepas atau terpisah. Dalam kedudukan seperti ini, dapat dibuat dua garis persekutuan luar, yaitu k dan l dan dua garis persekutuan dalam, yaitu m dan n.

2. Garis Singgung Persekutuan Luar

a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar

Misalnya terdapat dua lingkaran saling lepas dengan pusat P dan Q serta jari-jari R dan r. Bagaimana cara melukis garis singgung persekutuan luar dari lingkaran P dan Q tersebut? Pelajarilah langkah-langkah berikut.

3. Garis Singgung Persekutuan Dalam

a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam

Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran berikut ini.

b. Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam

Perhatikan gambar berikut ini.

4. Panjang Sabuk Lilitan Minimal yang menghubungkan Dua Lingkaran

Pernahkah kamu mengganti rantai roda sepedamu? Bagaimana kamu menentukan agar panjang rantai yang diperlukan tidak terlalu panjang atau terlalu pendek? Jika kamu perhatikan, dua roda gigi sepeda biasa dianggap sebagai dua lingkaran dan rantai yang melilitnya sebagai garis singgung persekutuan luar. Perhatikan gambar berikut ini.

C. Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga

Pada subbab terakhir ini, kamu akan mempelajari tentang lingkaran yang dikaitkan dengan segitiga, yaitu lingkaran luar dan lingkaran dalam suatu segitiga.

1. Lingkaran Luar Segitiga

a. Pengertian Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga.
Gambar di samping menunjukkan lingkaran luar ΔABC dengan pusat O. OA = O B = OC adalah jari-jari lingkaran dan OP = OQ = OR adalah garis sumbu sisi-sisi segitiga.

b. Melukis Lingkaran Luar Segitiga

Telah disebutkan sebelumnya bahwa titik pusat lingkaran luar suatu segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisinya. Oleh karena itu, untuk dapat melukis lingkaran luar segitiga, kamu harus melukis dulu garis sumbu ketiga sisi segitiga tersebut.

Perhatikan langkah-langkah berikut.
1) Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalnya ΔPQR. Kemudian, lukis lah garis sumbu PQ.
2) Lukislah garis sumbu QR sehingga memotong garis sumbu PQ di titik O.
3) Hubungkan O dan Q.
4) Lukislah lingkaran dengan jari-jari PQ dan berpusat di O. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran luar ΔPQR.

2. Lingkaran Dalam Segitiga

a. Pengertian Lingkaran Dalam Segitiga

Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang berada di dalam segitiga dan menyinggung semua sisi segitiga tersebut. Titik pusat lingkaran merupakan titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga. Gambar berikut menunjukkan lingkaran dalam ΔABC dengan pusat O. Diketahui OP = OQ = OR adalah jari-jari lingkaran. Adapun AD, BE, dan EF adalah garis bagi sudut segitiga.

b. Melukis Lingkaran Dalam Segitiga

Jika titik pusat lingkaran dalam segitiga adalah titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga tersebut maka hal pertama yang harus kamu lakukan adalah menentukan titik pusatnya. Kamu tentu masih ingat bagaimana cara melukis garis bagi sudut segitiga, bukan? Materi tersebut telah kalian pelajari di Kelas VII.
Agar lebih jelas, perhatikan langkah-langkah melukis lingkaran dalam

1) Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalkan ΔPQR. Kemudian, lukislah garis bagi P.
2) Lukislah garis bagi Q sehingga memotong garis bagi P di titik O.
3) Jari-jari diperoleh dengan cara menarik garis tegak lurus dari titik O ke salah satu sisi segitiga. Misalnya OA, tegak lurus PQ.
4) Lukislah lingkaran dengan jari-jari OA dan berpusat di titik O. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam ΔPQR.

Tutorial Mencari Integral

Pertama buka program matematika 5 yang telah diinstal terlebih dahulu..

Maka akan muncul lembar kerja seperti tampilan di bawah ini..

Dan pada sisi sebelah kanannya juga akan muncul kotak fungsi seperti

Tampilan  berikut. .

Kotak fungsi diatas berfungsi untuk memasukkan berbagai rumus matematika yang sering kita gunakan. .

Untuk memulai  mencari nilai suatu Integral, ,

Kliklah  bagian yang dilingkari di bawah ini(tanda Integral pada kotak fungsi). .

Maka pada lembar kerja anda akan muncul. .

Lalu masukkan soal yang akan anda cari nilai integralnya. .

Misalnya:

Untuk melihat hasilnya, anda tinggal menekan shift+enter yang ada pada keyboard anda..

Maka nilai integralnya akan muncul seperti ini. .

Jika anda ingin melihat cara pemakaiannya lebih lanjut,

Klik menu help pada toolbar. .

Kemudian pilih master index. .

Lalu akan muncul kotak dialog Mathematica Help Browser seperti tampilan

di bawah ini. .

pada kolom disebelah kiri  Go ,ketikkan Integral

Maka akan muncul tampilan berikut. .

Dan klik Integral pada bagian yang dilingkari. .

Maka akan muncul seperti ini. .

Kemudian  klikl “Using Palettes”

Maka akan muncul . .

Pada kotak dialog tersebut akan muncul cara-cara penulisan soal untuk Integral serta

beberapa tips cara menggunakannya. .

Untuk selengkapnya gunakan scrool bar  yang ada disis kanan untuk menggeser layar ke bawah dan keatas..

Nah begitulah caranya..

Bagaimana ?? Mudah bukan..^^

Operasi Bilangan Pecahan

Salah satu operasi perhitungan dasar yang sulit dikuasai adalah penjumlahan pada bilangan pecahan. Ada dua jenis penjumlahan bilangan pecahan , yaitu penjumlahan bilangan pecahan dengan penyebut yang sama dan penjumlahan bilangan pecahan dengan penyebut yang berbeda.

Contoh penjumlahan bilangan pecahan dengan penyebut yang sama :

Cara penyelesaiannya yaitu pembilang dijumlahkan, sedangkan penyebut ditulis kembali, tidak dijumlahkan.

Contoh penjumlahan bilangan pecahan dengan penyebut tidak sama :

Disini saya memberikan soal yang sama kepada dua orang

Orang pertama menjawab

Orang kedua menjawab

Jawaban kedua orang itu sama, tetapi apakah cara berpikir mereka juga sama ?
Saya berikan soal kedua,

Orang pertama menjawab

Sedangkan jawaban orang kedua

Jawaban pertama juga benar tetapi masih harus menyederhanakan hasilnya, sedangkan jawaban yang tepat adalah jawaban kedua.Untuk menyamakan penyebut kedua pecahan yang dijumlahkan adalah dengan mengambil KPK kedua penyebut itu. KPK dari 2 dan 8 adalah 8.
Jadi bukan mengalikan kedua penyebut itu.

 Orang pertama berpikir bahwa menyamakan penyebut itu dengan mengalikan kedua penyebut, ternyata itu cara berpikir yang salah.
Coba bayangkan kalau harus menjumlahkan

bilangan rasional dan pangkat

Bilangan Rasional dan Irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, ^-1/₂, 0, 3, ³/₄, dan ⁵/_9.

Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya

√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.

Bentuk Akar

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain?

Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.

Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
√a² = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0

Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3

Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya

Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar ⁿ√a^m dapat ditulis a^m/n (dibaca: a pangkat m per n). Bentuk a^m/n disebut bentuk pangkat pecahan.

contoh :

jawab :

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis.

kesimpulan :
jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku

a√b + c√b = (a + c)√b

a√b - c√b = (a - c)√b

Perkalian dan Pembagian

Contoh :
Tentukan hasil operasi berikut :

jawab :

Perpangkatan

Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.
Contoh:

Operasi Campuran

Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.

• Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
• Jika tidak ada tanda kurungnya maka

1. pangkat dan akar sama kuat;
2. kali dan bagi sama kuat;
3. tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
4. kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.

Contoh :

Merasionalkan Penyebut

Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya

Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah

Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.

Penyebut Berbentuk √b

Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan ^a/_√b dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan ^√b/_√b .

Contoh :
Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!

jawab :

Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)

Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b) adalah dan sebaliknya.
Bukti

Contoh :

Rasionalkan penyebut pecahan berikut.

jawab :

Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)

Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut.

Contoh:

Selesaikan soal berikut!

Jawab :